空間の直線と平面との交点の求め方

空間の図形を式で扱うことは問題解決に大いに役立ちます。
連比の扱いポイントはすでに復習したので、
空間の図形における直線と平面との交点を簡単な問題でもう一度復習しておきます。
イメージしにくい空間図形の問題が機械的に代数で処理できるので便利です。

直線と平面との交点を求める問題

\(\color{red}{\fbox{問題}}\)

今回は超基本的かつシンプルな問題なので簡単に済ませます。

空間では直線の扱いは大切なポイント

直線と平面の交点は直線が平面上にないかぎり１つです。
直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトルの向きが違うので同一平面上にはありません。
（平行な場合交点はありません。）

直線を連立しても良いのですが連比を扱うときの定石にしたい方法で進めます。
直線を媒介変数\(\,t\,\)を用いて表すと
\(\hspace{10pt}\displaystyle x+1=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{3}=t\)
これより
\(\hspace{10pt}x=t-1\,,\,y=2t-2\,,\,z=3t-3　･･･①\)
これが平面上にあるときなので平面と連立すると
　\(\begin{eqnarray}
(t-1)+(2t-2)+(3t-3)&=&6\\
6t-6&=&6\\
6t&=&12\\
t&=&2
\end{eqnarray}\)
これを\(\,①\,\)に代入して
\(\hspace{10pt}\underline{　x=1\,,\,y=2\,,\,z=3　}\)

ちなみに直線の方向ベクトルは\(\,(\,1\,,\,2\,,\,3\,)\,\)、
平面の法線ベクトルは\(\,(\,1\,,\,1\,,\,1\,)\,\)です。

直線の方向ベクトルと値が一致しているのは偶然です。

⇒　空間座標の垂線ベクトルと直線と平面の方程式

図形問題にも利用できるので使える様になっておくと便利ですよね。